Василий Звонцов родился 13 апреля 1917 года в деревне Вахонькино Кадуйского района Вологодской губернии в семье сельских учителей. Его отец играл на скрипке, рисовал, в доме была хорошая библиотека.

В 1924 семья сначала переехала в Череповец, чтобы дать детям хорошее образование, 11 лет спустя в 1935 Звонцовы перебрались в Ленинград, и Василий поступил в Ленинградское художественное училище (сейчас – имени Серова).

Осенью 1939 года Звонцова призвали на военную службу. Когда же срок службы подходил к концу, началась Великая отечественная война. В годы войны Василий Звонцов служил в пехоте, сначала был командиром взвода, а к концу войны старшим помощником начальника оперативного штаба армии. Победу встретил в Берлине в звании подполковника, будучи уже кавалером пяти боевых орденов.

В 1946 году Звонцов был восстановился в институте им. Репина на факультете живописи, а в 1948 перешел на вновь открывшийся графический факультет. Во время войны Звонцов мало рисовал, да и те немногочисленные наброски погибли во время артобстрела в 1944 году. К изображению событий Великой отечественной войны Василий Звонцов обратился позднее – серия эстампов «По дорогам войны» стала его дипломной работой в институте в 1952 году. Другой работой, посвященной военному времени стал триптих 1958 года «На старых окопах».

В течение 18 лет, начиная с 1953 года, Василий Михайлович преподавал на факультете графики Института имени Репина. С 1956 года его творческая судьба тесно связана с музеем-заповедником Пушкина в Михайловском. Здесь Василий Звонцов проработал около тридцати лет: привозил на практику своих студентов, создал иллюстрации для пушкинских «Стихов, написанных в Михайловском», сборника «Под вашу сень, Михайловские рощи» (совместно с художником В. Смирновым).

Василий Звонцов работал в технике офорта, которую знал досконально. Он владел всеми известными манерами этой графической техники, в том числе редкими и почти забытыми. Предпочитал классический офорт и гравирование сухой иглой. В этих техниках Звонцовым выполнены многочисленные серии пейзажей, посвященные пушкинским местам, в частности Пушкинскому заповеднику в Михайловском. Василием Михайловичем был создан учебник «Офорт» (в соавторстве с В. И. Шистко), а также книга «Основы понимания графики», ряд статей об этом виде изобразительного искусства и о выдающихся современных графиках.